授業内容
奇素数 \(p\) と互いに素な整数 \(a\) に対して、
$$ \left(\frac{a}{p}\right)=\begin{cases} 1\;\;\;\;\;\;\; x^2 \equiv a \pmod p\text{ が解を持つとき}, \\ \\ -1 \;\;\;\;\;x^2 \equiv a \pmod p\text{ が解を持たないとき } \end{cases} $$
と置き、これをルジャンドル記号と呼びます。このとき、二つの異なる奇素数 \(p, q\) に対して、
$$ \left(\frac{q}{p}\right) \left(\frac{p}{q}\right)= \left(-1\right)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}} $$
という対称性があるとても綺麗な公式が成り立ちます。これを平方剰余の相互法則と言います。今回は平方剰余の相互法則の内容と使い方について詳しく解説していきます。
\(\;\)参考文献
[1] 青木昇、素数と２次体の整数論、共立出版
[2] 山崎隆雄、初等整数論: 数論幾何への誘い、共立出版