可換環 \( A \) とそのイデアル \( I \; (\neq A) \) について、次の条件を考えます。
(1) \( ab \in I \; (a, b \in A)\) ならば \( a \in I \) または \( b \in I \) 。
(2) \( I \subseteq J \) かつ \( I \neq J \) を満たすイデアル \( J \) は \( A \) のみ。
条件 (1)を満たすとき、\( I \) は 素イデアル といい、条件 (2)を満たすとき、\( I \) は 極大イデアル と言います。例えば、整数環 \( \mathbb{Z} \) において、\( p\mathbb{Z} \) (\( p \) : 素数) は素イデアルであり、極大イデアルにもなります。今回は素イデアルと極大イデアルの性質や例について解説します。また前回の紹介した剰余環との関係について考察します。
授業ノート
\(\;\)参考文献
[1] 飯高茂、「環論（数学のかんどころ）」、共立出版
[2] 桂利之、「代数学I 群と環」、東京大学出版
[4] 佐藤篤、田谷久雄、「理工基礎代数系」、サイエンス社