授業内容
前回に引き続き、集合の濃度について説明します。
ベルンシュタインの定理
集合 \(X、Y\) に対して、\(X\) から \(Y\)、 \(Y\) から \(X\)、 の両方に単射があれば、 \(X\) から \(Y\) に全単射が存在する。
\(X\) と \(Y\) の濃度が等しいことを示すとき、 \(X\) から\(Y\) に全単射を見つけるのが難しいことがあります。しかし、その場合でも、\(X\) から \(Y\)、 \(Y\) から \(X\) への単射は比較的簡単に作れることがあり、このような状況では、ベルンシュタインの定理が役に立ちます。
例えば、
$$ f:[0,1]\rightarrow (0,1)\; \left(x\mapsto \frac{x+1}{3}\right), \;\;\; g:(0,1)\rightarrow [0,1]\; (x\mapsto x)$$
は明らかに単射なので、ベルンシュタインの定理から \([0,1]\) から \((0,1)\) に全単射が存在していることが分かります。
今回の授業ノートでは、実例を交えながら、ベルンシュタインの定理の使い方を見ていきます。
キーワード: 集合の濃度 、 ベルンシュタインの定理
授業ノート
\(\;\)関連する授業ノート
[1] 集合論の授業ノート一覧
[2] 写像 (集合論)
[3] 単射と全射 (集合論)
[4] 集合の濃度とカントールの対角線論法 (集合論)
参考文献
[1] 内田伏一、集合と位相、裳華房
[2] 松坂和夫、集合・位相入門、岩波書店
[3] 藤岡敦、集合と位相、裳華房
[4] 鈴木晋一、集合と位相への入門、サイエンス社