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# 大学数学の授業ノート

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## 投稿

- [余因子展開 と 余因子行列 (線形代数)](https://math-notes.info/2023/05/12/li-13/) - 余因子行列の性質や計算方法について詳しくみていきます。
- [行列の演算 (線形代数)](https://math-notes.info/2022/09/22/li-2/) - 前回は行列の定義とそこから派生する概念を説明しました。今回は 行列の演算 について解説します。
- [行列 と数ベクトル (線形代数)](https://math-notes.info/2022/08/24/li-1/) - 数を長方形の形に並べたものを 行列 と呼びます。今回は行列の基本的な用語について、例題を交えながら説明します。 キーワード: 行列, 数ベクトル
- [群・環・体入門 (新妻弘、木村哲三)](https://math-notes.info/2021/03/31/book-al-2/) - 「 群・環・体入門 」(新妻弘、木村哲三著)について紹介します。
- [代数学2　 環と体とガロア理論 (雪江明彦)](https://math-notes.info/2021/03/16/book-al-1/) - 雪江明彦先生の「代数学2 環と体とガロア理論論 」について紹介します。
- [内積空間 の定義と性質 (線形代数)](https://math-notes.info/2025/04/22/li-27/) - 今回はベクトル空間に 内積 を導入し, それにより得られる内積空間の性質をみます. 内積が定義されると, ベクトル空間に長さや直交性の概念を定義することができます.
- [行列の対角化 の応用 (線形代数)](https://math-notes.info/2025/03/04/li-26/) - 行列の対角化の応用の一つとして、正方行列の累乗を計算する方法について説明します。また後半では、数列の漸化式への応用についても考察します。 キーワード: 行列の対角化 , 数列の漸化式
- [行列の対角化 (線形代数)](https://math-notes.info/2025/01/14/li-25/) - 固有値や固有ベクトルを用いて行列を対角化する方法を紹介します。また後半では、行列が対角化可能であるための条件について説明します。
- [固有値 と 固有ベクトル (線形代数)](https://math-notes.info/2024/11/24/li-24/) - 行列の 固有値 、 固有ベクトル の計算方法をステップに分けて解説していきます。また後半では、線形変換の固有値、固有ベクトルについても取り上げます。 キーワード: 固有値、固有ベクトル
- [級数 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/03/21/cal-2/) - 今回は 級数 の基本事項について解説し、さらに様々な級数の収束性やその値について調べます。
- [数列の極限  (微分積分 入門)](https://math-notes.info/2022/03/16/cal-1/) - 数列の極限 に関する基本事項について実例を交えながら説明します。
- [濃度の比較 と ベルンシュタインの定理 (集合論)](https://math-notes.info/2024/10/09/set-10/) - 前回に引き続き、集合の濃度について説明します。今回は、 ベルンシュタインの定理 の使い方についてみます。
- [集合の濃度 と カントールの対角線論法 (集合論)](https://math-notes.info/2024/10/03/set-9/) - 集合の濃度 について説明します。前半では、濃度の例や基本的な性質について紹介し、後半ではカントールの対角線論法を用いて、実数体が非可算集合であることを証明します。
- [行列 と 連立1次方程式 (線形代数)](https://math-notes.info/2022/10/20/li-4/) - 今回は掃き出し法を用いた連立１次方程式の解法について具体例を交えながら解説します。
- [行列の演算  II (線形代数)](https://math-notes.info/2022/10/08/li-3/) - 今回は 行列の演算 の性質と計算上の注意点について、具体例を交えながら説明します。
- [商集合 (集合)](https://math-notes.info/2021/02/22/set-8/) - 商集合 について解説します。また商集合を用いて、整数から有理数を構成する方法を紹介します。
- [同値関係 と 同値類  (集合論)](https://math-notes.info/2021/02/17/set-7/) - 同値関係 と 同値類 について、具体例を交えながら詳しく説明します。
- [合成写像 と 逆写像  (集合論)](https://math-notes.info/2021/02/09/set-6/) - 前回に引き続き、写像の基本事項を解説します。今回は 合成写像 と 逆写像 の性質を詳しくみます。
- [単射 と 全射 (集合論)](https://math-notes.info/2021/02/03/set-5/) - 写像の 単射 性と 全射 性は大学数学においてとても重要な概念です。今回は単射や全射の定義や例、証明の仕方について解説します。
- [写像 (集合論)](https://math-notes.info/2021/01/24/set-4/) - 二つの集合があったとき、一方の集合の元に対してもう一方の集合の元を一つずつ対応させる規則のことを 写像 と言います。今回は写像の定義や例をみていきます。
- [補集合 と直積集合(集合論)](https://math-notes.info/2021/01/11/set-3/) - 前回に引き続き、集合の基本的な用語を解説します。今回は 補集合 と直積集合の定義や性質をみます。
- [集合 と元(集合論)](https://math-notes.info/2021/01/07/set-1/) - 集合 の基本的用語や集合の表し方について、具体例を交えながら解説します。
- [和集合 と共通部分 (集合論)](https://math-notes.info/2021/01/09/set-2/) - 和集合 と共通部分について解説します。
- [同型  (群論)](https://math-notes.info/2022/03/31/group-9/) - 今回は群の 同型 に関する基本事項についてみていきます。
- [群の準同型定理 と使い方 (群論)](https://math-notes.info/2022/06/19/group-10/) - 準同型定理は現代数学の様々な分野で頻繁に用いられる重要な道具です。今回は 群の準同型定理 の証明と使い方を紹介します。また応用として、中国剰余定理を証明します。
- [正規部分群と剰余群 (群論)](https://math-notes.info/2022/03/09/group-8/) - 正規部分群と剰余群について、実例を交えながら解説します。
- [ラグランジュの定理  (群論)](https://math-notes.info/2022/03/01/group-7/) - ラグランジュの定理 を紹介します。また３次対称群の部分群について考察します。
- [生成系  (群論)](https://math-notes.info/2022/02/16/group-5/) - 今回の授業ノートでは、群の 生成系 について、具体例を交えながら解説します。
- [群の準同型  (群論)](https://math-notes.info/2022/02/23/group-6/) - 群の準同型 の基礎について実例を交えながら解説します。
- [位数 (群論)](https://math-notes.info/2022/02/13/group-4/) - 群の元に対して 位数 を定義し、その計算方法や証明の仕方について解説します。
- [対称群  (群論)](https://math-notes.info/2022/01/22/group-2/) - 対称群 の定義と基本事項について解説します。
- [群 の定義と例 (群論)](https://math-notes.info/2022/01/06/group-1/) - 群 の定義や性質について具体例を交えながら解説します。また「群」であることの証明の仕方についてみます。
- [広義積分の収束判定  (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/08/23/cal-19/) - 今回は 広義積分が収束判定 についてみます。また応用として、ガンマ関数の収束性について紹介します。
- [広義積分 の定義と例 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/08/14/cal-18/) - 今回は 広義積分 の定義と例について解説します。
- [部分積分 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/08/01/cal-17/) - 部分積分 の基本的な例と応用について紹介します。
- [微分積分学の基本定理 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/06/27/cal-15/) - 微分積分学の基本定理 の証明を行い、さらに定積分の計算方法について説明します。
- [不定積分 の定義と例 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/05/30/cal-13/) - 不定積分 の性質や計算方法を具体例を交えながら説明します。 キーワード: 不定積分、原始関数
- [テイラー展開 の性質と例 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/05/27/cal-12/) - 今回の授業ノートでは、関数が テイラー展開 できるための条件を確認し、例として、指数関数のテイラー展開を取り上げます。また後半では、テイラー展開の応用について紹介します
- [テイラーの定理とその応用 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/05/21/cal-11/) - 微分可能な関数は局所的には多項式によって近似することができます。このような性質をテイラーの定理と言います。今回の授業ノートではテイラーの定理を証明し、さらに応用として、三角関数や対数関数の近似値について考察します。
- [関数の増減と高次導関数 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/05/09/cal-10/) - 導関数を利用して関数の増減について調べます。また後半では関数の極値(=関数の局所的な最大値、最小値)の概念を定義し、高次導関数との関係をみます。
- [平均値の定理とロピタルの定理  (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/05/05/cal-9/) - 今回はまず平均値の定理の主張と使い方について確認します。また後半では関数の極限計算で有用なロピタルの定理について紹介します。
- [関数の極限と連続性 (微分積分 入門)](https://math-notes.info/2022/03/30/cal-3/) - 関数の極限や連続関数の基本事項について様々な実例を交えながら紹介します。
- [線形写像 の 表現行列 (線形代数)](https://math-notes.info/2024/09/19/li-23/) - 表現行列 は、線形写像の性質を調べる上で重要になります。今回は、表現行列の性質や計算方法について、実例を交えながら紹介します。
- [線形写像 の定義と性質 (線形代数)](https://math-notes.info/2024/07/25/li-22/) - 今回は 線形写像 の基礎を解説します。前半では、線形写像の定義や性質について、具体例を交えながら説明します。後半では、線形写像の像と核について触れます。
- [ベクトル空間の 基底 と 次元 の計算方法 (線形代数)](https://math-notes.info/2024/05/03/li-21/) - 前回はベクトル空間に 基底 や 次元 を定義し、数ベクトル空間で例をみました。今回は基底や次元の別の例として、「連立１次方程式の解空間」や「多項式ベクトル空間」の場合について考えます。
- [ベクトル空間の 基底 と 次元  (線形代数)](https://math-notes.info/2024/03/26/li-20/) - 基底の定義や性質を解説します。また基底を用いてベクトル空間に「次元」を導入します。また数ベクトル空間の例を通して、 基底 や 次元 の求め方をみます。
- [1次独立   ·   1次従属の判定と性質 (線形代数)](https://math-notes.info/2024/01/10/li-18/) - 一般ベクトル空間において 1次独立 ・１次従属の判定の仕方についてみます。また後半では、１次独立 ・１次従属の基本性質について紹介します。
- [１次独立 と １次従属 の定義と例 (線形代数)](https://math-notes.info/2023/12/05/li-17/) - 数ベクトル空間や多項式ベクトル空間で、 １次独立 や１次従属の示し方について具体例を交えて説明します。
- [行列式 の定義と性質 (線形代数)](https://math-notes.info/2023/02/25/li-10/) - 今回は２次と３次の場合に、 行列式 の性質や計算方法についてみます。また、行列式の図形的な意味について説明します。
- [置換 (線形代数)](https://math-notes.info/2023/02/02/li-9/) - 置換, 巡回置換, 符号, 互換
- [正則行列  (線形代数)](https://math-notes.info/2023/01/04/li-8/) - 正方行列が 正則行列 かどうかを判定する方法や、逆行列の求め方について解説します。
- [連立1次方程式 の解法 III (線形代数)](https://math-notes.info/2022/12/05/li-7/) - 連立1次方程式 の解が無数に存在する場合について、それらの解がパラメータを用いて表せることをみます。
- [三角関数 と 逆三角関数 の微分 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/04/24/cal-7/) - 今回の授業ノートでは三角関数の微分について具体例を交えながら説明します。また後半では 逆三角関数 の微分についても触れます。
- [逆関数 とその微分 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/04/08/cal-6/) - 逆関数 の基本的な性質を例を交えながら解説します。また逆関数の微分の公式について証明を与えます。
- [導関数の性質 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/04/04/cal-5/) - 導関数に関する様々な公式を紹介します。またそれらの使い方を例題を用いて説明します。
- [微分係数と導関数 (微分積分 入門)](https://math-notes.info/2022/04/02/cal-4/) - 関数の微分に関する基本事項を解説します。また具体例を使って微分係数の求め方についてみます。
- [行列式 の計算 II (線形代数)](https://math-notes.info/2023/04/13/li-12/) - 行列式 の列の基本変形について解説します。また後半では行列式と行列の積の可換性について触れます。
- [行列式 の計算 I (線形代数)](https://math-notes.info/2023/03/22/li-11/) - 行列式 の性質をいくつか紹介し、それらを用いて４次以上の行列式を計算する方法について解説します。
- [行列の簡約化 と 階数 (線形代数)](https://math-notes.info/2022/11/09/li-5/) - 今回は、 行列の簡約化 について詳しくみていきます。また、行列で最も重要な不変量である階数 (ランク) について定義します。
- [平方剰余の相互法則 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/10/29/e-n-9/) - 平方剰余の相互法則 について解説します。また応用として、２次合同式が解を持つ条件について考察します。
- [原始根 の応用 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/10/26/e-n-8/) - 原始根定理を用いて、ウィルソンの定理を証明します。また後半では、 原始根 の別の応用についても触れます。
- [連立1次方程式 の解法 II (線形代数)](https://math-notes.info/2022/11/25/li-6/) - 連立1次方程式 の解の有無について、係数行列と拡大係数行列の階数を用いて判定する方法について紹介します。
- [置換積分 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/07/12/cal-16/) - 今回は 置換積分 によって計算できる積分の代表的な例を紹介します。
- [リーマン和 と 定積分 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2023/06/12/cal-14/) - リーマン和を用いた定積分の定義を紹介します. また、定積分の基本的な性質についてみます。
- [指数関数と対数関数の微分 (微分積分入門)](https://math-notes.info/2022/04/28/cal-8/) - 今回の授業ノートでは対数関数と指数関数の微分の導出方法や使い方を紹介します。またこれらの微分を利用した極限値の計算法についてみます。 - キーワード: 指数関数の微分、対数関数の微分、自然対数、ネピア数
- [１次独立 なベクトルの最大個数 (線形代数)](https://math-notes.info/2024/03/01/li-19/) - 前々回と前回で、 与えられたベクトルの組みが １次独立 か１次従属 かを判別する方法をみました。今回はベクトルの組が１次従属になる場合に、その組みの中から1次独立な部分を抜き出す方法を考えます。
- [平方剰余の相互法則 の証明 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/11/01/e-n-10/) - 平方剰余の相互法則 は2つの素数の間の関係式でした。今回はこの定理の証明をします。
- [原始根  (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/10/23/e-n-7/) - 原始根 の基本的な性質について紹介します。またどんな素数に対しても原始根があることを示します (原始根定理)。
- [フェルマーの小定理 と オイラーの定理 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/10/14/e-n-6/) - フェルマーの小定理 とオイラーの定理の証明について説明します。また具体例を交えながら、定理の使い方を解説します。
- [合同式 の基礎2 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/10/09/e-n-5/) - 1次合同方程式 の解の存在条件と求め方について解説します。また、連立合同式の解法 (中国剰余の定理)も紹介します。
- [合同式 の基礎1 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/09/30/e-n-4/) - 合同式 の定義と四則演算について、具体例を交えながら解説します。
- [整数環の イデアル  (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/09/22/e-number-2/) - 整数環の イデアル について説明します。また、イデアルと最大公約数との関係についてみます。
- [素数 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/09/27/e-n-3/) - 素数 の定義から出発し、算術の基本定理 を厳密に証明することが目標です。この応用として、 素数 が無限にあることも証明します。
- [ユークリッド互除法 と１次不定方程式 (初等整数論)](https://math-notes.info/2020/09/17/e-number_1/) - ユークリッド互除法 を用いた１次不定方程式の整数解の求め方について解説します。
- [ガロア理論の基本定理 の証明(体論)](https://math-notes.info/2021/12/23/field-12/) - ガロアの基本定理 の証明について解説します。
- [ガロア理論 の基本定理 (体論)](https://math-notes.info/2021/12/08/field-11/) - ガロア理論 の内容とその使い方について解説します。
- [ガロア拡大と ガロア群  (体論)](https://math-notes.info/2021/11/10/field-10/) - ガロア拡大や ガロア群 について解説します。
- [単拡大  (体論)](https://math-notes.info/2021/10/31/field-9/) - 前半で 単拡大 について解説し、また後半では準同型写像と共役元との関係について考察します。
- [準同型写像 (体論)](https://math-notes.info/2021/10/19/field-8/) - 体の 準同型写像 の性質や例を解説します。
- [分離拡大 (体論)](https://math-notes.info/2021/09/29/field-7/) - 共役元や 分離拡大 の概念について解説します。
- [代数拡大 (体論)](https://math-notes.info/2021/08/26/field-6/) - 代数拡大 の基本についてみていきます。また、代数閉体や代数閉包の概念についてもみます。
- [拡大次数 の性質(体論)](https://math-notes.info/2021/08/19/field-5/) - 拡大次数 の連鎖律について証明や使い方を解説します。
- [拡大次数 (体論)](https://math-notes.info/2021/08/13/field-4/) - 拡大次数 の例や性質について解説します。また拡大次数と最小多項式との関係ついてもみます。
- [多項式の既約性(体論)](https://math-notes.info/2021/07/19/field-2/) - 整数係数の一変数多項式に関して、既約性を判定する方法を紹介します。
- [最小多項式 (体論)](https://math-notes.info/2021/08/03/field-3/) - 最小多項式 の例や性質について解説します。また既約多項式との関係についてもみます。
- [体の拡大（体論）](https://math-notes.info/2021/07/02/field-1/) - 体の拡大に関する基本的な用語について解説します。
- [UFD (環論)](https://math-notes.info/2021/05/18/ring-11/) - 可換環における素元や既約元の概念を説明します。また UFD の定義や性質をみます。
- [PID (環論)](https://math-notes.info/2021/06/11/ring-12/) - PID の定義や性質を解説します。また, PIDがUFDであることの証明についてみます。
- [ガウス整数環 (環論)](https://math-notes.info/2021/07/22/ring-13/) - ガウス整数環 がPIDやUFDになることを証明します。
- [商体 の定義と構成 (環論)](https://math-notes.info/2022/07/06/ring-14/) - 今回の授業ノートでは、与えられた整域に対して 商体 を構成する方法について紹介します。
- [UFD 上の多項式環 (環論)](https://math-notes.info/2022/09/02/ring-15/) - 今回は UFD 上の多項式環の性質をみます。目標はUFD上の多項式環もUFDになることを示すことです。
- [多項式の既約性 と アイゼンシュタインの定理  (環論)](https://math-notes.info/2022/09/24/ring-16/) - 今回はUFD上の既約多項式の性質について調べます。目標は多項式の既約判定で頻繁に用いられるアイゼンシュタインの定理を証明することです。
- [演習問題 2 ( 環論 )](https://math-notes.info/2023/05/23/ring-p2/) - 第7回から第10回までの内容に関連した演習問題です。 キーワード: 準同型写像、剰余環、素イデアル、極大イデアル、同型、環準同型定理
- [演習問題 1 ( 環論 )](https://math-notes.info/2023/03/28/ring-p1/) - 環論の第1回から第6回までの内容に関連した演習問題を掲載しました。
- [環準同型定理 (環論)](https://math-notes.info/2021/04/29/ring-10/) - 今回は 環準同型定理 の主張と使い方を解説します。また、中国剰余定理につても触れます。
- [素イデアル と極大イデアル (環論)](https://math-notes.info/2021/04/21/ring-9/) - 素イデアル と極大イデアル について解説します。
- [剰余環（環論）](https://math-notes.info/2021/04/16/ring-8/) - 剰余環 の基本事項について解説します。
- [環準同型  (環論)](https://math-notes.info/2021/04/05/ring-7/) - 環準同型 の基本的性質と具体例について解説します。
- [イデアル2 (環論)](https://math-notes.info/2021/04/02/ring-6/) - イデアルの演算について解説します。またイデアルが導入された理由も紹介します。
- [イデアル 1 (環論)](https://math-notes.info/2021/03/29/ring-5/) - イデアルの定義と性質について、具体例を交えながら紹介します。
- [多項式環  (環論)](https://math-notes.info/2021/03/21/ring-4/) - 多項式環 について解説します。また割り算の原理とその使い方を紹介します。
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- [整域と体 (環論)](https://math-notes.info/2021/03/15/ring-2/) - 今回は可換環の重要なクラスである「整域」と「体」について解説します。また、それらの間の関係についても考察します。
- [部分群 (群論)](https://math-notes.info/2022/02/06/group-3/) - 部分群 の基本事項について解説します。また「部分群であること」の証明の仕方についてもみます。
- [ベクトル空間 とその部分空間 (線形代数)](https://math-notes.info/2023/11/05/li-16/) - （抽象) ベクトル空間 とその部分ベクトル空間について定義し、数ベクトル空間や多項式ベクトル空間がその例になっていることを確かめます。
- [集合 と ベクトル方程式  (線形代数)](https://math-notes.info/2023/09/22/li-14/) - ベクトル空間を勉強するための準備として、「 集合 」や「 ベクトル方程式 」について復習します。
- [ベクトル空間 の例 (線形代数)](https://math-notes.info/2023/10/05/li-15/) - 今回は ベクトル空間 の例として、「 数ベクトル空間」と「 多項式ベクトル空間」について取り上げます。

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- [線形代数](https://math-notes.info/li/) - 線形代数 は行列やベクトル空間の性質を調べる学問 です。線形代数 は大学数学の基礎というだけでなく、理系の多くの学問で頻繁に用いられます。ここでは、多くの例題や問題を交えながら線形代数の基礎を解説します。
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