\( L/K \) を体の拡大、 \( \alpha \in L \) とします。 \( \alpha \) を根に持つ \( K[x] \) の \( 0 \) でない多項式の中で最小次数のモニック多項式を \( \alpha \) の \( K \) 上の 最小多項式 と呼びます。例えば、\( \alpha=\sqrt{-1} \) を考えると、\( \alpha \not\in \mathbb{Q} \) に注意すれば、\( x^2+1 \) が \( \alpha \) の \( \mathbb{Q} \) 上の最小多項式であることが分かります。
今回は最小多項式の例や性質について解説します。また前回紹介した既約多項式との関係についてもみます。
キーワード : 最小多項式
授業ノート
\(\;\) \(\;\)関連する授業ノート
[1] 体論の授業ノート一覧
[2] 多項式の既約性 (体論)
参考文献
[1] 彌永 昌吉 , 有馬 哲 , 浅枝 陽、「詳解 代数入門」、東京図書
[2] 中野伸、「ガロア理論」、サイエンス社
[3] 雪江明彦、「代数学2 環と体とガロア理論」、日本評論社