授業内容
\(\;\) 群 \( G \) の部分集合 \( S \) に対して、集合 \( <S> \) を次で定めます。
$$ <S>=\left\{x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots x_t^{n_t}\: |\: t:\text{自然数},\; x_i \in S, \; n_i \in \mathbb{Z} \right\}$$
このとき、\( <S> \) は \( S \) 含む最小の \( G \) の部分群となり、\( S\) で生成されたの部分群と言います。例えば、３次対称群 \( S_3 \) に対して、\( \sigma=(1\;2) \) と \( \tau=(1\;3) \) を考えると、
$$ \; \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right)=\sigma^0,
\;\;\; \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{array}\right)=\sigma\tau\sigma,
\;\;\; \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right)=\sigma, $$
$$ \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1
\end{array}\right)=\tau\sigma,
\;\;\; \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{array}\right)=\sigma\tau,
\;\;\; \left(\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right)=\tau $$
となり、\( S_3=<\sigma, \tau>\) が分かります。今回の授業ノートでは、群の生成系の基本について例を交えながら解説します。
\(\;\) \(\;\)参考文献
[1] 彌永 昌吉 , 有馬 哲 , 浅枝 陽、「詳解 代数入門」、東京図書
[2] 桂利行 、「代数学I 群と環」、東京大学出版会
[4] 雪江明彦、「代数学 I」、日本評論社