授業内容
集合 \( G \) とその演算 \( * \) の組 \( (G,*) \) が次の(1)-(3)を満たすとき、群と呼び、さらに(4)も満たすとき、アーベル群と言います。
(1) \( x, y, z \in G \) に対し、\( x*(y*z)=(x*y)*z \) が成り立つ。（結合法則）
(2) 次を満たす \( e\in G \) がある: \( e*x=x*e=x \; (x \in G) \) （単位元の存在）
(3) \( x \in G \) に対し、\( x*y=y*x=e \) を満たす \( y\in G \) がある。（逆元の存在）
(4) \( x, y \in G \) に対して、\( x*y=y*x \) が成り立つ。（可換性）
例えば、整数全体と足し算の組 \( (\mathbb{Z},+) \) や、正則行列全体と行列の積の組 \( (GL_n(\mathbb{C}),*) \) などは代表的な群の例です。今回の授業ノートでは群の定義や性質について具体例を交えながら解説します。また「群」であることの証明の仕方について詳しくみます。
キーワード: 群 , アーベル群
授業ノート
授業ノート一覧
参考文献
[1] 木村哲三、新妻弘、「群・環・体入門」、共立出版
[2] 彌永 昌吉 , 有馬 哲 , 浅枝 陽、「詳解 代数入門」、東京図書
[3] 雪江明彦、「代数学 I」、日本評論社