平均値の定理とロピタルの定理 (微分積分入門)

授業内容

\( \:\:\) 閉区間 \( [a,b] \) 上で微分可能な関数 \( f(x)\) に対して

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c), \quad \quad a<c<b$$

を満たす実数 \( c\) を取ることができます。これを平均値の定理と言います。この定理は関数の性質を調べる上で重要で、例えば、

$$f^{\prime}(x)=0 \Rightarrow f(x)\text{ は定数関数}$$

という結果は平均値の定理から従います。今回の授業ノートではまずは平均値の定理の主張と使い方について確認します。また後半では関数の極限計算で有用なロピタルの定理について紹介します。

授業ノート

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[1] 「微分積分入門」の講義資料一覧

参考文献

[1] 青本和彦、「微分と積分 1」、岩波書店
[2] 足立俊明、「微分積分学 I」、培風館
[3] 加藤文元、「チャート式 微分積分」、数研出版
[4]「微分積分入門 (山形大学 数理科学科編)」、裳華房