授業ノート
可換環 \( A \) に対して、 \( x \) を変数とする\( A \) 係数多項式の集合
$$
A[x]=\left\{\; \sum_{i=0}^{n} a_ix^i \; \Big| \; a_i \in A, \;\; n \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \right\}
$$
を考えます。また \( A[x] \) に対して足し算と掛け算を次で定めます。
$$ \left(\sum_{i=0}^{n} a_ix^i \right)+\left(\sum_{i=0}^{m} b_ix^i \right)
= \sum_{i=0}^{\max \{n,m\}} (a_i+b_i)x^i,$$
$$ \left(\sum_{i=0}^{n} a_ix^i \right)\cdot \left(\sum_{i=0}^{m} b_ix^i \right)
= \sum_{k=0}^{n+m} \left(\sum_{i+j=k}a_ib_j \right)x^k.$$
これら演算により\( A[x] \) は可換環となり, これを\( A\) 上の一変数多項式環と呼びます。多項式環は環の代表例というだけでなく、様々な環の構造を調べる上でも重要になります。今回は多項式環の基本事項を解説します。また、多項式環上の割り算の原理とその使い方についてみます。
授業ノート
\(\;\)参考文献
[1] 飯高茂、「環論（数学のかんどころ）」、共立出版
[2] 桂利之、「代数学I 群と環」、東京大学出版
[3] 木村哲三、新妻弘、「群・環・体入門」、共立出版
[4] 佐藤篤、田谷久雄、「理工基礎代数系」、サイエンス社