可換環 \( A \) のイデアル \( I \)、\(J \) に対して、次の３つの集合を考えます。
\( I \cap J=\{x \in A \; | \; x \in I \text{ かつ } x \in J \} \)
\( I+J=\{x+y \; | \; x \in I , \; y \in J \} \)
\(I \cdot J = \left\{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i \; | n \in \mathbb{N}, \; \; x_i \in I, \; y_i \in J \; (i=1,2, … , n) \right\} \)
\( I \cap J \)、\( I+J \)、\( I \cdot J \) はすべて\( A \)のイデアルであり、それぞれ \( I \) と \( J \) の共通部分、和、積と言います。 例えば、整数環 \( \mathbb{Z} \) において \( I=(4)\) 、\( I=(6) \) を考えると、
$$ (12)=(4)\cap(6),\;\;\;\;\; (2)=(4)+(6), \;\;\;\;\;(24)=(4) \cdot (6)$$
と計算できます。今回はイデアルの演算の基本事項と計算方法について詳しく解説します。また最後に、イデアルが導入された理由について紹介します。
授業ノート
\(\;\)参考文献
[1] 飯高茂、「環論（数学のかんどころ）」、共立出版
[2] 桂利之、「代数学I 群と環」、東京大学出版
[4] 佐藤篤、田谷久雄、「理工基礎代数系」、サイエンス社