有限次ガロア拡大 \( L/K \) とそのガロア群 \( G \) を考えます。 \( G \) の部分群 \( H \) に対して、
$$ L^H=\{x\in L\; | \; \sigma(x)=x \;\;(\sigma \in H) \}$$
は\( L/K \) の中間体であり、これを \( H \) の固定体と言います。 逆に \( L/K \) の中間体 \( M \) に対して、 \( L/M \) はガロア拡大となり、 \( H(M)=\text{Gal}(L/M) \) は \( G \) の部分群となります。これを \( M \) の固定群と言います。\( L/K \) の中間体全体 \( \mathbb{M} \) と \( G \) の部分群全体 \( \mathbb{H} \) の間には次の写像により一対一対応が与えられます（ガロアの基本定理）。
$$ \Phi: \mathbb{H}\rightarrow \mathbb{M}\;(H\mapsto L^H),\quad \Psi: \mathbb{M} \rightarrow \mathbb{H} \; (M \mapsto H(M))$$
この定理により、ガロア群の構造を調べることで、\( L/K \) に含まれる中間体を決定することができます。今回は ガロア理論 の基本定理の内容について確認したあと、具体例で使い方をみていきます。
注意) 議論を簡単にするために、体は複素数体 \( \mathbb{C} \) に含まれるものだけを考えています。一般の場合は、下記の文献等をご覧ください。
授業ノート
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\(\;\)関連する授業ノート
[1] 体論の授業ノート一覧
[2] ガロア拡大とガロア群 (体論)
参考文献
[1] 彌永 昌吉 , 有馬 哲 , 浅枝 陽、「詳解 代数入門」、東京図書
[2] 中野伸、「ガロア理論」、サイエンス社
[3] 雪江明彦、「代数学2 環と体とガロア理論」、日本評論社