整域 \( A \) のイデアルが全て単項イデアルになるとき、\( A \) を PID と言います。例えば、整数環 \( \mathbb{Z} \) のイデアルは整数 \( n \) を用いて
$$n\mathbb{Z}=\{nx \;| x \in \mathbb{Z}\; \}$$
と一つの元で生成できるので、\( \mathbb{Z} \) はPIDになります。他にも、体 \( K \) 上の一変数多項式環 \( K[x] \) などもPIDの代表的な例です。
今回はPIDの性質について詳しく解説します。また、前回紹介したUFDとの関係についても考察します。
授業ノート
\(\;\)参考文献
[1] 飯高茂、「環論（数学のかんどころ）」、共立出版
[2] 桂利之、「代数学I 群と環」、東京大学出版
[4] 佐藤篤、田谷久雄、「理工基礎代数系」、サイエンス社