複素数体 \( \mathbb{C} \) の部分環
$$A=\{a+b\sqrt{-1} \;| \; a, b \in \mathbb{Z}\; \}$$
を ガウス整数環 と呼びます。ガウス整数環は代数的整数論のもっとも基本的な対象であり、またフェルマーの最終定理の \( 4 \) 次の場合の証明に応用があります。今回は、\( A \) 上で割り算の原理の類似を与えることで、ガウス整数環がPIDやUFDになることを証明します。また、ガウス整数環での素数の分解の様子について紹介します。
授業ノート
\(\;\)参考文献
[1] 青木昇、「素数と2次体の整数論（数学のかんどころ）」、共立出版
[2] 飯高茂、「環論（数学のかんどころ）」、共立出版
[3] 桂利之、「代数学I 群と環」、東京大学出版
[5] 佐藤篤、田谷久雄、「理工基礎代数系」、サイエンス社