体の拡大 \( L/K \) を考えます。 \( L=K(\alpha) \) となる \( \alpha \in L \) が存在するとき、 \( L/K \) は 単拡大 といい、このような \( \alpha \) を原始元と呼びます。例えば、
$$ \mathbb{C}=\mathbb{R}\left(\sqrt{-1}\right)$$
なので、\( \mathbb{C}/\mathbb{R} \) は単拡大であり、\( \sqrt{-1} \) が原始元になっています。 実は、 \( \mathbb{C} \) に含まれる有限次拡大は常に単拡大になります(より一般的には、有限次分離拡大ならば単拡大が成立する)。今回は前半で単拡大について解説し、また後半では準同型写像と共役元との関係を考察します。
注意) 議論を簡単にするために、体は複素数体 \( \mathbb{C} \) に含まれるものだけを考えています。一般の場合は、下記の文献をご覧ください。
授業ノート
\(\;\)\(\;\)
関連する授業ノート
参考文献
[1] 彌永 昌吉 , 有馬 哲 , 浅枝 陽、「詳解 代数入門」、東京図書
[2] 中野伸、「ガロア理論」、サイエンス社
[3] 雪江明彦、「代数学2 環と体とガロア理論」、日本評論社