ガロア理論の基本定理の証明(体論)

　前回はガロア理論の基本定理について紹介しました。まずは内容を復習しておきます。有限次ガロア拡大 $ L/K $ とそのガロア群 $ G $ を考えます。 $ G $ の部分群 $ H $ に対して、

$$ L^H=\{x\in L\; | \; \sigma(x)=x \;\;(\sigma \in H) \}$$

は$ L/K $ の中間体になり、逆に $ L/K $ の中間体 $ M $ に対して、 $ H(M)=\text{Gal}(L/M) $ は $ G $ の部分群となります。ガロアの基本定理とは、$ L/K $ の中間体全体 $ \mathbb{M} $ と $ G $ の部分群全体 $ \mathbb{H} $ の間に

$$ \Phi: \mathbb{H}\rightarrow \mathbb{M}\;(H\mapsto L^H),\quad \Psi: \mathbb{M} \rightarrow \mathbb{H} \; (M \mapsto H(M))$$

により一対一対応が与えられるというものでした。今回はこの証明について解説していきます。

注意) 議論を簡単にするために、体は複素数体 $ \mathbb{C} $ に含まれるものだけを考えています。一般の場合は、下記の文献等をご覧ください。

授業ノート

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授業ノート

　解答　

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参考文献

[1] 彌永昌吉 , 有馬哲 , 浅枝陽、「詳解代数入門」、東京図書
[2] 中野伸、「ガロア理論」、サイエンス社
[3] 雪江明彦、「代数学2 環と体とガロア理論」、日本評論社

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