授業内容
\( \:\:\) \( C^n \) 級関数 \( f(x)\) と実数 \( a \) を考えます。このとき、実数 \( x\) に対して、
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n)}(c_x)}{n!}(x-a)^n$$
を満たす \( c_x\) が\( x\) と \( a\) の間に取ることができます。このような性質をテイラーの定理と言います。ここで、
$$P_{n-1}(x, a)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, \;\:\:\: R_{n}(x, a)=\frac{f^{(n)}(c_x)}{n!}(x-a)^n$$
と置き、\( P_{n-1}(x, a)\)を \( n-1\) 次近似多項式、\( R_{n}(x, a)\) を \( n\) 次誤差項と言います。例えば、 \( n=2\) の場合だと、
$$f(x) =P_1(x,a)+R_2(x,a), $$
$$P_1(x,a)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a),\:\:\: R_2(x,a)= \frac{f^{(2)}(c_x)}{2}(x-a)^2$$
となります。上式で\( P_1(x,a)\) は\( x=a \) における \( f(x) \) の接線を表し、また \( R_2(x,a)\) は接線と \( f(x) \) との誤差を表します。
\( \:\:\) 今回の授業ノートではテイラーの定理を証明し、さらに応用として、三角関数や対数関数の近似値について考察します。
授業ノート
関連する授業ノート
[1] 「微分積分入門」の講義資料一覧
[2] 関数の増減と高次導関数
参考文献
[1] 青本和彦、「微分と積分 1」、岩波書店
[2] 足立俊明、「微分積分学 I」、培風館
[3] 加藤文元、「チャート式 微分積分」、数研出版
[4]「微分積分入門 (山形大学 数理科学科編)」、裳華房