可換環 \( A \) の空でない部分集合\( I \) が次の２条件を満たすとき、 イデアル と言います。
(1) \( x, y \in I \) ならば、\( x-y \in I \)。
(2) \( a\in A,\;\; x \in I \) ならば、\( ax \in I \)。
例えば、整数環 \( \mathbb{Z} \) において、\( 2\) の倍数全体
$$ 2 \mathbb{Z}=\{2k \; | \; k \in \mathbb{Z} \} $$
は上記の(1)、(2)の条件を満たすので \( \mathbb{Z} \) のイデアルです。イデアルは環の構造を調べる上で極めて重要な概念です。今回はイデアルの基本事項と具体例について解説します。
授業ノート
\(\;\)参考文献
[1] 飯高茂、「環論（数学のかんどころ）」、共立出版
[2] 桂利之、「代数学I 群と環」、東京大学出版
[4] 佐藤篤、田谷久雄、「理工基礎代数系」、サイエンス社