授業内容
\( \:\:\) 有限群 \( G \) とその部分群 \( H \) に対して、 \( G \) 上の同値関係 \( \sim \) を
$$ x \sim y \iff x^{-1}y \in H$$
で定めます。この同値関係による商集合を \( G/H \) で表し、 その要素の個数を \( (G:H) \) とかいて \( H \) の \( G \) における群指数と言います。 このとき、次が成り立ちます。
$$ |G|=(G:H) |H|$$
この等式を ラグランジュの定理 と言います。特に \( |H| \) が \( |G| \) の約数になることが分かります。今回はラグランジュの定理の証明や使い方を紹介します。また応用として、3次対称群の部分群について考察します。
授業ノート
\(\;\)関連ページ
参考文献
[1] 彌永 昌吉 , 有馬 哲 , 浅枝 陽、「詳解 代数入門」、東京図書
[2] 桂利行 、「代数学I 群と環」、東京大学出版会
[4] 雪江明彦、「代数学 I」、日本評論社